8. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình : sinx+sin2x=cosx+$2{\cos }^{2}x là:$

$\left(A\right) \frac{\mathrm{\pi }}{6}; \left(B\right) \frac{2\tau }{3}; \left(C\right)\frac{\mathrm{\pi }}{4}; \left(D\right) \frac{\mathrm{\pi }}{3}$

Giải:

sinx+sin2x=cosx+$2{\cos }^{2}x \iff \sin x(1+2\cos x)=\cos x(1+2\cos x)$

$\iff (1+2\cos x)(\sin x-\cos x)=0 \iff {[}_{1+2\cos x = 0}^{\sin x - \cos x =0}$

$\iff {[}_{\cos x = -\frac{1}{2} }^{\tan x = 1}\iff {[}_{x = \pm \frac{2\mathrm{\pi }}{3}+k\mathrm{\pi }}^{x= \frac{\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi }} (k\subset \mathrm{\mathbb{Z}})$

Nghiệm dương nhỏ nhất là x= $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$. Chọn (C).