Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A ba cung AB,BC,CD sao cho $sđ\stackrel{⏜}{AB}=60°; sđ\stackrel{⏜}{BC}=90°$ và $sđ\stackrel{⏜}{CD}=120°$

a, Tứ giác ABCD là hình gì?

b,Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.

c,Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD

Giải

a, 

$$\begin{gathered} \widehat{BAD}=\frac{90°+120°}{2}=105° \left(góc nội tiếp chắn cung \stackrel{⏜}{BCD}\right) \left(1\right) \\ \widehat{ADC}=\frac{60°+90°}{2}=75°\left(góc nội tiếp chắn cung \stackrel{⏜}{ABC}\right) \left(2\right) \\ Từ \left(1\right) và \left(2\right) có \\ \widehat{BAD}+\widehat{ADC }=105°+75°=180° \left(3\right) \\ \widehat{BAD} và \widehat{ADC} là hai góc trong cùng phía tạo bởi \\ cát tuyến AD và hai đường thẳng AB,CD \end{gathered}$$

Đẳng thức (3) chứng tỏ $AB\parallel CD$. Do đó tứ giác ABCD là hình thang, mà hình thang nội tiếp thì phải là hình thang cân.

Vậy ABCD là hình thang cân.

( BC=AD vì $sđ\stackrel{⏜}{BC}=sđ\stackrel{⏜}{AD}=90°$)

b, Giả sử hai đường chéo AC và BD cắt hau tại I

$$\begin{gathered} \widehat{CID} là góc có đỉnh nằm trong hai đường tròn, nên : \\ \widehat{CID}=\frac{Sđ(\stackrel{⏜}{AB}+\stackrel{⏜}{CD})}{2}=\frac{60°+120°}{2}=90° \\ Vậy CD\perp BD \\ c, Xem bài tập 63 \\ vì sđ\stackrel{⏜}{AB}=60° nên \widehat{AIB}=60° \\ \Rightarrow △AIB đều ,nên AB=R \\ Vì sđ\stackrel{⏜}{BC}=90° nên BC=R\sqrt{2} \\ AD=BC=R\sqrt{2} \\ nên sđ\stackrel{⏜}{CD}=120° Nên CD=R\sqrt{3} \end{gathered}$$