Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C

a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn

b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB = 24 cm. Tính độ dài OC

Giải

a) Gọi H là giao điểm của OC và AB

               OH $\perp$AB      $\Rightarrow$      AH = HB

Vậy OC là đường trung trực của đoạn AB

                                     $\Rightarrow$      AC = BC

Xét  $△$OAC và $△$OBC có:

OA = OB (= R),    AC = BC;   OC (cạnh chung)

Do đó $△$OAC = $△$OBC (c.c.c)

$\Rightarrow$      $\widehat{\text{OAC}} = \widehat{\text{OBC}}$

Nên   $\widehat{\text{OBC}} = 90°$

$\Rightarrow$      CB là tiếp tuyến của đường tròn.

b)   OH $\perp$AB (gt) $\Rightarrow$ AH = HB = $\frac{\text{AB}}{2}$ = 12 (cm)

$△$OAH vuông tại H, theo định lí Py-ta-go có:

            ${\text{OH}}^2 + {\text{AH}}^2 = {\text{OA}}^2$

            ${\text{OH}}^2$ = ${15}^2 - {12}^2 = 81 \Rightarrow \text{OH} = \sqrt{81} = 9 \left(\text{cm}\right)$

$△$OAC vuông tại A, AH là đường cao nên OH . OC = ${\text{OA}}^2$

Do đó 9 . OC = ${15}^{2 } \Rightarrow \text{OC} = \frac{{15}^2}{9 } = 25 \left(\text{cm}\right)$