Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường trung tuyến $A$. Gọi $D$ là trung điểm của $AB,E$ là điểm đối xứng với $M$ qua $D$.

a) Chứng minh rằng điểm $E$ đối xứng với điểm $M$ qua $AB$.

b) Các tứ giác $AEMC,AEBM$ là hình gì? Vì sao?

c) Cho $BC=4cm$, tính chu vi tứ giác $AEBM$.

d) Tam giác vuông $ABC$, có điều kiện gì thì $AEBM$ là hình vuông?

Lời giải chi tiết

a) Ta có $MB=MC$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$),

$BD=DA$ (vì $D$ là trung điểm của $AB$)

nên $M$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác) 

Do đó $MD//AC,MD=\frac{AC}{2}$ (tính chất đường trung bình của tam giác)
Do $AC⟂AB$ (gt) nên $MD⟂AB$
vi E là điểm đối xứng với M qua D nên D là trung điểm của EM hay DE=EM

Do đó, AB là đường trung trực của ME (do $AB⟂ME$ tại D và DE=DM) nên E đối xưúng với M qua AB.
b) Ta có: EM//AC (do MD//AC)
và EM=AC (cùng bằng 2DM)
Suy ra AEMC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Tứ giác AEBM có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành.

Hình bình hành AEBM có $AB⟂EM$ (chứng minh trên) nên AEBM là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)
c) Ta có $BC=4\mathrm{cm}\Rightarrow BM=2\mathrm{cm}$ (do M là trung điểm BC)
Chu vi hình thoi AEBM bằng 4.BM=4.2=8(cm)

d) Cách 1 :
Hình thoi AEBM là hình vuông $\iff AB=EM\iff AB=AC$
Vậy nếu ABC vuông có thêm điều kiện AB=AC (tức là tam giác ABC vuông cân tại A) thì AEBM là hình vuông.

Cách 2 :

Hình thoi $AEB$ là hình vuông $\iff AM\perp BM$

$\iff ∆ABC$ có trung tuyến $AM$ là đường cao

$\iff ∆ABC$ cân tại $A$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Vậy nếu $\Delta ABC$ vuông có thêm điều kiện cân tại $A$ thì $AEBM$ là hình vuông.