Đề bài

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $E,F,G,H$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,BC,CD,DA.$ Các đường chéo $AC,BD$của tứ giác $ABCD$ có điều kiện gì thì $EFGH$ là:

a) Hình chữ nhật?

b) Hình thoi?      

c) Hình vuông

Lời giải chi tiết

+ Ta có: EB=EA, FB=FC (gt)
Do đó EF là đường trung bình của tam giác ABC
Suy ra $EF//AC,EF=\frac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung bình của tam giác)
+ Ta có: $HD=HA,GD=GC\left(\mathrm{gt}\right)$
Do đó HG là đường trung bình của tam giác ADC
Suy ra $HG//AC,HG=\frac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Do đó EF//HG, EF=HG nên EFGH là hình bình hành.

+ Ta có: EB=EA, AH=HD (gt)
Do đó EH là đường trung bình của tam giác ABD.
Suy ra $EH//BD,EH=\frac{1}{2}BD$ (tính chất đường trung bình của tam giác)
a) Hình bình hành EFGH là hình chữ nhật $\iff EH⟂EF$ $\iff AC⟂BD$ (vì EH//BD; EF//AC)

Điều kiện phải tìm: các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
b) Hình bình hành EFGH là hình thoi $\iff EF=EH$ $\iff AC=BD$ (vì $F=\frac{1}{2}AC,EH=\frac{1}{2}BD$)
Điều kiện phải tìm: các đường chéo AC và BD bằng nhau.

c) Hình bình hành EFGH là hình vuông khi và chỉ khi
EFGH vừa là hình chữ nhật đồng thời là hình thoi. $\Rightarrow AC⟂BD$ và AC=BD.
Điều kiện phải tìm: các đường chéo AC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau.