Đề bài

Chứng minh rằng nếu tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đồng dạng với tam giác $ABC$ theo tỉ số $k$, thì tỉ số của hai đường trung tuyến tương ứng với hai tam giác đó cũng bằng $k$.

Lời giải chi tiết

Giả sử $\mathrm{\Delta }{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ đồng dạng $\mathrm{△}ABC$ theo tỉ số $k,A^{\text{'}}{M}^{\text{'}},AM$ là hai đường trung tuyến tương ứng.
vì $\mathrm{\Delta }{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ đồng dạng $\mathrm{△}ABC$ theo tỉ số k (giả thiết)
$\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{BC}=k$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)
Mà $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=2B^{\text{'}}{M}^{\text{'}},BC=2BM$ (tính chất trung tuyến)
$\Rightarrow \frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{2B^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}{2BM}=\frac{B^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}{BM}$
Xét $\mathrm{△}ABM$ và $\mathrm{△}{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{M}^{\text{'}}$ có:
$\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}$ (vì $\mathrm{\Delta }{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ đồng dạng $\mathrm{\Delta }ABC$)
$\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{B^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}{BM}$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{M}^{\text{'}}$ đồng dạng $\mathrm{△}ABM$ theo tỉ số $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=k$ (c-g-c)
$\Rightarrow \frac{A^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}{AM}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=k$. (tính chất hai tam giác đồng dạng)