Đề bài
Trên một cạnh của gó $xOy(\widehat{xOy}\ne {180}^{\circ })$, Đặt các đoạn thẳng $OA=5\mathrm{cm},OB=16\mathrm{cm}$. Trên cạnh thứ hai của góc đó, đặt các đoạn $OC=8\mathrm{cm},OD=10\mathrm{cm}.$
a) Chứng minh hai tam giác OCB và OAD đồng dạng.
b) Gọi giao điểm của các cạnh AD và BC là I, chứng minh rằng hai tam giác IAB và ICD có các góc bằng nhau từng đôi một.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:
$\frac{OA}{OC}=\frac{5}{8};\frac{OD}{OB}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}\Rightarrow \frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}$
Xét $\mathrm{△}OCB$ và $\mathrm{△}OAD$ có:
+) $\widehat{O}$ chung
+) $\frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \mathrm{△}OCB$ đồng dạng $\mathrm{△}OAD(\mathrm{c}-\mathrm{g}-\mathrm{c})$
$\Rightarrow \widehat{ODA}=\widehat{CBO}$ (2 góc tương ứng) hay $\widehat{CDI}=\widehat{IBA}$
b) Xét $\mathrm{\Delta }ICD$ và $\mathrm{\Delta }IAB$ có
$\widehat{CID}=\widehat{AIB}$ (hai góc đối đỉnh) (1)
$\widehat{CDI}=\widehat{IBA}$ (theo câu a)
Theo định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có:
$$\begin{gathered} \widehat{CID}+\widehat{CDI}+\widehat{ICD}={180}^{\circ } \\ \widehat{AIB}+\widehat{IBA}+\widehat{IAB}={180}^{\circ } \\ \Rightarrow \widehat{CID}+\widehat{CDI}+\widehat{ICD}=\widehat{AIB}+\widehat{IBA}+\widehat{IAB} \end{gathered}$$
Từ' (1), (2) và (3) suy ra: $\widehat{ICD}=\widehat{IAB}$
Vậy hai tam giác IAB và ICD có các góc bằng nhau từng đôi một.