Đề bài
Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là $\frac{15}{17}$ và hiệu độ dài hai cạnh tương ứng của chúng là $12,5\mathrm{cm}$. Tính hai cạnh đó.

Lời giải chi tiết

Giả sử $\mathrm{\Delta }{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ đồng dạng $\mathrm{\Delta }ABC$ và $AB-A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=12,5\mathrm{cm}$ .(1)
Vi $\mathrm{\Delta }{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ đồng dạng $\mathrm{\Delta }ABC$ (giả thiết) nên ta có: $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{BC}=\frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{CA}$
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{BC}=\frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{CA}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}+B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}+C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{AB+BC+CA}$$=\frac{C_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}{C_{ABC}}=\frac{15}{17}$
(với $C_{ABC}$ và $C_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ lần lượt là chu vi của hai tam giác $ABC,A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}})$
Do đó, $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{15}{17}$ $\Rightarrow \frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{17}{15}\Rightarrow AB=\frac{17}{15}\cdot A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ (2)

Từ (1) và (2), ta có: $\frac{17}{15}\cdot A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}-A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=\frac{2}{15}\cdot A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=12,5\mathrm{cm}$

$\Rightarrow A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=12,5:\frac{2}{15}=12,5\cdot \frac{15}{2}=93,75\mathrm{cm}$
Lại có: $B-A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=12,5\mathrm{cm}$ 

$\Rightarrow AB=12,5+93,75=106,25\mathrm{cm}.$