Đề bài
Cho hình thoi ABCD có $\widehat{A}={60}^{\circ }$. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng đa giác EBFGDH là lục giác đều.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình thoi (giả thiết) và $\widehat{A}={60}^0$ (giả thiết)
Do đó AB=BC=CD=DA; AB//DC; BC//AD.
Lại có E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên AE=EB=BF=FC=CG=GD=DH=HA
Vì AD//BC nên $\widehat{A}+\widehat{ABC}={180}^{\circ }$ (2 góc trong cùng phía bù nhau)
$\Rightarrow \widehat{ABC}={180}^0-\widehat{A}={180}^0-{60}^{\circ }={120}^0$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ADC}={120}^{\circ }$ (tính chất hình thoi)
$\mathrm{\Delta }EAH$ có AE=AH (chứng minh trên) và $\widehat{A}={60}^{\circ }$ nên là tam giác đều (vì tam giác cân có một góc ${60}^{\circ }$ là tam giác đều) $\Rightarrow \widehat{AEH}=\widehat{AHE}={60}^{\circ }$ và AE=EH=AH (tính chất tam giác đều)
$\left\{\begin{array}{l}\widehat{AEH}+\widehat{HEB}={180}^{\circ }\\ \widehat{AHE}+\widehat{EHD}={180}^{\circ }\end{array}\right.$ (hai góc kề bù)
$\Rightarrow \widehat{HEB}=\widehat{EHD}={180}^0-{60}^{\circ }={120}^0$
Tương tự:
$\mathrm{△}CFG$ có CF=CG (chứng minh trên) và $\widehat{C}=\widehat{A}={60}^{\circ }$ (do ABCD là hình thoi) nên là $\mathrm{△}CFG$ tam giác đều (vì tam giác cân có một góc ${60}^{\circ }$ là tam giác đều)

$\Rightarrow \widehat{CFG}=\widehat{CGF}={60}^{\circ }$ và CF=FG=CG (tính chất tam giác đều)
$\left\{\begin{array}{l}\widehat{CFG}+\widehat{BFG}={180}^{\circ }\\ \begin{array}{c}\widehat{CGF}+\widehat{FGD}={180}^{\circ }\end{array}\end{array}\right.$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{BFG}=\widehat{FGD}={180}^{\circ }-{60}^0={120}^{\circ }$
Từ đó ta suy ra: EB=BF=GD=HD=EH=FG

$\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=\widehat{HEB}=\widehat{EHD}=\widehat{BFG}=\widehat{FGD}={120}^{\circ }$