Bài 4: Đường tiệm cận
Lý thuyết Đường tiệm cận
<p><strong>1. Đường tiệm cận ngang</strong></p>
<p><strong>a) Đường tiệm cận ngang là gì?</strong></p>
<p>Đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>b</mi></math> được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:</p>
<ul>
<li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>-</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>b</mi></math></li>
<li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>b</mi></math></li>
</ul>
<p><img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/16022022/duond-tiem-can-ndand-gaMxH8.png" /></p>
<p>b) Lưu ý</p>
<p>- Điều kiện để đồ thị hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></math> có tiệm cận ngang là căn bậc của đa thức <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> bé</p>
<p>hơn hoặc bằng bậc của đa thức <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math>.</p>
<p>- Tổng quát: Xét hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo> </mo><msup><mi>x</mi><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>0</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>b</mi><mi>m</mi></msub><mo> </mo><msup><mi>x</mi><mi>m</mi></msup><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><msub><mi>b</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><mo> </mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mi>N</mi><mo>;</mo><mo> </mo><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>≠</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mo> </mo><msub><mi>b</mi><mi>m</mi></msub><mo>≠</mo><mn>0</mn></math></p>
<p> +) Điều kiện để hàm số có tiệm cận ngang là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>≤</mo><mi>m</mi></math>.</p>
<p> +) Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>=</mo><mi>m</mi></math>: tiệm cận ngang là đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mfrac><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><msub><mi>b</mi><mi>m</mi></msub></mfrac></math>.</p>
<p> +) Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>\</mo><mo>(</mo><mo> </mo><mi>n</mi></math>.</p>
<p><strong>2. Đường tiệm cận đứng</strong></p>
<p>a) Đường tiệm cận đứng là gì?</p>
<p>Đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>a</mi></math> được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:</p>
<ul>
<li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><msup><mi>a</mi><mo>+</mo></msup></mrow></munder><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>±</mo><mo>∞</mo></math></li>
<li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><msup><mi>a</mi><mo>-</mo></msup></mrow></munder><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>±</mo><mo>∞</mo></math></li>
</ul>
<p>b) Lưu ý</p>
<ul>
<li>Đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>a</mi></math> ; là đường tiệm cận đứng của đồ thị <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> thì a không thuộc tập xác định của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math>.</li>
<li>Đối với hàm phân thức <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></math> thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math> là nghiệm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math>.</li>
</ul>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài