1. Bất phương trình mũ 

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

-) Nếu a  > 1 thì:

  $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}^{\mathrm{x}} > {\mathrm{a}}^{\mathrm{y}} \Rightarrow \mathrm{x} > \mathrm{y} \\ {\mathrm{a}}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} > {\mathrm{a}}^{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)} \iff \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) > \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \end{gathered}$$

-) Nếu 0 < a < y thì:

  ${\mathrm{a}}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} > {\mathrm{a}}^{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)} \iff \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) > \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)$

b) Phương pháp Lôgarit hóa

-) $Nếu a^{f\left(x\right)} > b \left(1\right)$

$\left(1\right) \iff \left\{\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}>1\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) >{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}0 <\mathrm{a}<1\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) < {\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}\end{array}\right.\end{array}\right.$

-) $Nếu a^{f\left(x\right)} > b^{g\left(x\right)} \left(2\right)$

$\left(2\right)\iff \left\{\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a>1\\ f\left(x\right) >g\left(x\right). {\log }_{a}b\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}0<a<1\\ f\left(x\right) <g\left(x\right). {\log }_{a}b\end{array}\right.\end{array}\right.$

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới

$$\begin{gathered} a.m^{2f\left(x\right)} + b.m^{f\left(x\right)} + c >0: Đặt t=m^{f\left(x\right)} , ta có a{t}^2 + bt + c >0 \\ a.m^{f\left(x\right)} + b.n^{f\left(x\right)} + c>0 trong đó m.n=1 \end{gathered}$$    

 Đặt $t=m^{f\left(x\right)}$, ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{a}.\mathrm{t} + \mathrm{b}.\frac{1}{\mathrm{t}} + \mathrm{c}>0 \iff {\mathrm{at}}^2 + \mathrm{ct} +\mathrm{b} >0 \\ \mathrm{a}.{\mathrm{m}}^{2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} + \mathrm{b}.{\mathrm{m}}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}. {\mathrm{n}}^{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)} + \mathrm{c}.{\mathrm{n}}^{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)} >0 \end{gathered}$$

Chia cả 2 vế cho $n^{2g\left(x\right)}$ ta được:

    $$\begin{gathered} \mathrm{a}.{\left[\frac{{\mathrm{m}}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}}{{\mathrm{n}}^{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}}\right]}^2 + \mathrm{b}.\frac{{\mathrm{m}}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}}{{\mathrm{n}}^{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}} + \mathrm{c} >0 \\ \mathrm{Đặt} \mathrm{t}=\frac{{\mathrm{m}}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}}{{\mathrm{n}}^{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}} , \mathrm{ta} \mathrm{có} {\mathrm{at}}^{2 } + \mathrm{bt} +\mathrm{c} >0 \end{gathered}$$

Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:

• Đưa về bất phương trình tích
• Xem ẩn ban đầu là tham số

Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó xử lý phương trình theo các cách sau :

• Đưa về bất phương trình tích
• Xem 1 ẩn là tham số

d) Phương pháp hàm số

Xét hàm số y = a^x:

-) Nếu a > 1 thì y = a^x đồng biến trên R.

-) Nếu 0 < a < 1 thì y = a^x đồng biến trên R.

Vậy:

+) Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến trên D.

+) Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số dồng biến trên D.

Cho hàm số f(x) và g(x) nếu f(x) đồng biến trên D và g(x) nghịch biến trên D thì f(x) - g(x) đồng biến trên D.

2. Bất phương trình lôgarit

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Với a > 1: ${\log }_{\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) > {\log }_{\mathrm{a}} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) > \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\\ \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) > 0\end{array}\right.$

Với 0 < a < 1: ${\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) > {\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) < \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) > 0\end{array}\right.$

b) Phương pháp mũ hóa

Xét bất phương trình ${\log }_{\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) > \mathrm{b} \left(1\right) \mathrm{với} 0 <\mathrm{x} \ne 1$

Với $\mathrm{a} > 1, \left(1\right) \iff \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) > {\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}$

Với $0<\mathrm{a}<1 , \left(1\right) \iff 0 <\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) < {\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}$

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Các kiểu đặt ẩn phụ

- Kiểu 1: Đặt ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.

- Kiểu 2: Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu

   + Xem ẩn ban đầu là tham số

   + Bất phương trình tích

- Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn

d) Phương pháp hàm số

-) Xét hàm số $y= {\log }_{a}x ( 0<a \ne 1 )$

$$\begin{gathered} Với a>1, y= {\log }_{a}x đồng biến trên (0;+\infty ) \\ Với 0<a<1 ,y= {\log }_{a}x nghịch biến trên (0;+\infty ) \end{gathered}$$

-) Xét hai hàm số f(x) và g(x):

    +) Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập D thì f(x) + g(x) là hàm

số đồng biến (hoặc nghịch biến trên tập D)

    +) Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số đồng biến trên tập D và f(x) . g(x) > 0 thì f(x) . g(x) là hàm số đồng

biến trên tập D.

    +) Nếu f(x) đồng biến trên D, g(x) nghịch biến trên D thì f(x) - g(x) đồng biến trên D và f(x) - g(x) nghịch

biến trên D.