Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình Lôgarit
<p><strong>1. Bất phương trình mũ </strong></p>
<p><strong>a) Phương pháp đưa về cùng cơ số</strong></p>
<p>-) Nếu a > 1 thì:</p>
<p> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></msup><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">y</mi></msup><mo> </mo><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">y</mi><mspace linebreak="newline"/><mspace linebreak="newline"/><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mrow><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></math></p>
<p>-) Nếu 0 < a < y thì:</p>
<p> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mrow><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></math></p>
<p><strong>b) Phương pháp Lôgarit hóa</strong></p>
<p>-) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>N</mi><mi>ế</mi><mi>u</mi><mo> </mo><msup><mi>a</mi><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><mi>b</mi><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mn>1</mn></mfenced><mo> </mo><mo>⇔</mo><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">a</mi><mo>></mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>></mo><msub><mi>log</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></msub><mi mathvariant="normal">b</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>0</mn><mo> </mo><mo><</mo><mi mathvariant="normal">a</mi><mo><</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo><</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></msub><mi mathvariant="normal">b</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced></mtd></mtr></mtable></mfenced></math></p>
<p>-) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>N</mi><mi>ế</mi><mi>u</mi><mo> </mo><msup><mi>a</mi><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><msup><mi>b</mi><mrow><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mn>2</mn></mfenced><mo>⇔</mo><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>a</mi><mo>></mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>></mo><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>.</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mi>b</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>0</mn><mo><</mo><mi>a</mi><mo><</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo><</mo><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>.</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mi>b</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced></mtd></mtr></mtable></mfenced></math></p>
<p><strong>c) Phương pháp đặt ẩn phụ</strong></p>
<p><strong>Kiểu 1:</strong> Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>.</mo><msup><mi>m</mi><mrow><mn>2</mn><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>b</mi><mo>.</mo><msup><mi>m</mi><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mo> </mo><mo>></mo><mn>0</mn><mo>:</mo><mo> </mo><mi>Đ</mi><mi>ặ</mi><mi>t</mi><mo> </mo><mi>t</mi><mo>=</mo><msup><mi>m</mi><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>,</mo><mo> </mo><mi>t</mi><mi>a</mi><mo> </mo><mi>c</mi><mi>ó</mi><mo> </mo><mi>a</mi><msup><mi>t</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>b</mi><mi>t</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mo> </mo><mo>></mo><mn>0</mn><mspace linebreak="newline"/><mspace linebreak="newline"/><mi>a</mi><mo>.</mo><msup><mi>m</mi><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>b</mi><mo>.</mo><msup><mi>n</mi><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mo>></mo><mn>0</mn><mo> </mo><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>n</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>đ</mi><mi>ó</mi><mo> </mo><mi>m</mi><mo>.</mo><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math> </p>
<p> Đặt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t</mi><mo>=</mo><msup><mi>m</mi><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></msup></math>, ta có:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">a</mi><mo>.</mo><mi mathvariant="normal">t</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">b</mi><mo>.</mo><mfrac><mn>1</mn><mi mathvariant="normal">t</mi></mfrac><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mo>></mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><msup><mi>at</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>ct</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">b</mi><mo> </mo><mo>></mo><mn>0</mn><mspace linebreak="newline"/><mspace linebreak="newline"/><mi mathvariant="normal">a</mi><mo>.</mo><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">b</mi><mo>.</mo><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mrow><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>.</mo><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">n</mi><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mo>.</mo><msup><mi mathvariant="normal">n</mi><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>></mo><mn>0</mn></math></p>
<p>Chia cả 2 vế cho <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>n</mi><mrow><mn>2</mn><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></msup></math> ta được:</p>
<p> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">a</mi><mo>.</mo><msup><mfenced open="[" close="]"><mstyle displaystyle="false"><mfrac><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mrow><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><msup><mi mathvariant="normal">n</mi><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup></mfrac></mstyle></mfenced><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">b</mi><mo>.</mo><mstyle displaystyle="false"><mfrac><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mrow><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><msup><mi mathvariant="normal">n</mi><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mo> </mo><mo>></mo><mn>0</mn><mspace linebreak="newline"/><mspace linebreak="newline"/><mi>Đặt</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">t</mi><mo>=</mo><mstyle displaystyle="false"><mfrac><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mrow><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><msup><mi mathvariant="normal">n</mi><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo> </mo><mo>,</mo><mo> </mo><mi>ta</mi><mo> </mo><mi>có</mi><mo> </mo><msup><mi>at</mi><mrow><mn>2</mn><mo> </mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>bt</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mo> </mo><mo>></mo><mn>0</mn></math></p>
<p><strong>Kiểu 2:</strong> Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:</p>
<ul>
<li>Đưa về bất phương trình tích</li>
<li>Xem ẩn ban đầu là tham số</li>
</ul>
<p><strong>Kiểu 3:</strong> Đặt nhiều ẩn. Khi đó xử lý phương trình theo các cách sau :</p>
<ul>
<li>Đưa về bất phương trình tích</li>
<li>Xem 1 ẩn là tham số</li>
</ul>
<p><strong>d) Phương pháp hàm số</strong></p>
<p>Xét hàm số y = a<sup>x</sup>:</p>
<p>-) Nếu a > 1 thì y = a<sup>x</sup> đồng biến trên R.</p>
<p>-) Nếu 0 < a < 1 thì y = a<sup>x</sup> đồng biến trên R.</p>
<p>Vậy:</p>
<p>+) Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến trên D.</p>
<p>+) Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số dồng biến trên D.</p>
<p>Cho hàm số f(x) và g(x) nếu f(x) đồng biến trên D và g(x) nghịch biến trên D thì f(x) - g(x) đồng biến trên D.</p>
<p><strong>2. Bất phương trình lôgarit</strong></p>
<p><strong>a) Phương pháp đưa về cùng cơ số</strong></p>
<p>Với a > 1: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>log</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></msub><mo> </mo><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></msub><mo> </mo><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>⇔</mo><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></math></p>
<p>Với 0 < a < 1: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>log</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></msub><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></msub><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>⇔</mo><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo><</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></math></p>
<p><strong>b) Phương pháp mũ hóa</strong></p>
<p>Xét bất phương trình <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>log</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></msub><mo> </mo><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">b</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mi>với</mi><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo><</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo> </mo><mo>≠</mo><mo> </mo><mn>1</mn></math></p>
<p>Với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">a</mi><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mo> </mo><mo>⇔</mo><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">b</mi></msup></math></p>
<p>Với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo><</mo><mi mathvariant="normal">a</mi><mo><</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>,</mo><mo> </mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo><</mo><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo><</mo><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">b</mi></msup></math></p>
<p><strong>c) Phương pháp đặt ẩn phụ</strong></p>
<p>Các kiểu đặt ẩn phụ</p>
<p><strong>- Kiểu 1</strong>: Đặt ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.</p>
<p><strong>- Kiểu 2:</strong> Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu</p>
<p> + Xem ẩn ban đầu là tham số</p>
<p> + Bất phương trình tích</p>
<p><strong>- Kiểu 3:</strong> Đặt nhiều ẩn</p>
<p><strong>d) Phương pháp hàm số</strong></p>
<p>-) Xét hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mi>x</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo><</mo><mi>a</mi><mo> </mo><mo>≠</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>)</mo></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi><mi>ớ</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mi>a</mi><mo>></mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mi>x</mi><mo> </mo><mi>đ</mi><mi>ồ</mi><mi>n</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mi>ế</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>ê</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo><mo>)</mo><mspace linebreak="newline"/><mspace linebreak="newline"/><mi>V</mi><mi>ớ</mi><mi>i</mi><mo> </mo><mn>0</mn><mo><</mo><mi>a</mi><mo><</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mi>x</mi><mo> </mo><mi>n</mi><mi>g</mi><mi>h</mi><mi>ị</mi><mi>c</mi><mi>h</mi><mo> </mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mi>ế</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>ê</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo><mo>)</mo></math></p>
<p>-) Xét hai hàm số f(x) và g(x):</p>
<p> +) Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập D thì f(x) + g(x) là hàm</p>
<p>số đồng biến (hoặc nghịch biến trên tập D)</p>
<p> +) Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số đồng biến trên tập D và f(x) . g(x) > 0 thì f(x) . g(x) là hàm số đồng</p>
<p>biến trên tập D.</p>
<p> +) Nếu f(x) đồng biến trên D, g(x) nghịch biến trên D thì f(x) - g(x) đồng biến trên D và f(x) - g(x) nghịch</p>
<p>biến trên D.</p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài