Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của

nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ.

Giải:

Cho khối đa diện (G) có các đỉnh là B₁, B₂,…, B_n và gọi m₁, m₂,…, m_n lần lượt là số các mặt của (G) nhận chúng

làm đỉnh chung, ở đó m₁, m₂,…, m_n là những số lẻ.

Như vậy mỗi đỉnh B_k có m_k cạnh đi qua.

Ta có: đỉnh B₁ có m₁ cạnh đi qua, đỉnh B₂ có m₂ cạnh đi qua, …, đỉnh B_n có m_n cạnh đi qua. 

Do đó tổng số các cạnh (có thể trùng nhau) của đa diện là m₁ + m₂ + … + m_n.

Tuy nhiên, do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh ở trên được đếm hai lần.

Vậy tổng số các cạnh thực tế của (G) là:

C = $\frac{1}{2}$(m₁ + m₂ + … + m_n)

Vì C là số nguyên dương nên:

m₁ + m₂ + … + m_n là số chẵn.

Đồng thời m₁, m₂ , ..., m_n là n số tự nhiên lẻ nên tổng của chúng là số chẵn khi n chẵn.

Ví dụ: Hình chóp ngũ giác B₁.B₂B₃B₄B₅B₆ có: B₁ là đỉnh chung của 5 mặt bên. Mỗi đỉnh B₁, B₂, B₃, B₄, B₅, B₆

 là đỉnh chung của ba mặt (hình dưới).