Bài 4. Phép thử và biến cố
Lý thuyết Phép thử và biến cố
<p><strong>I. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu</strong></p>
<p><strong>1. Phép thử ngẫu nhiên</strong></p>
<p>Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, tuy nhiên có thể xác định được</p>
<p>tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.</p>
<p>Trong "Xác suất" ở trường phổ thông, ta chỉ xét những phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn các kết quả có thể có.</p>
<p>Sau đây, ta sẽ gọi tắt phép thử ngẫu nhiên là phép thử.</p>
<p><strong>2. Không gian mẫu</strong></p>
<p>Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi></math> được gọi là không gian mẫu của phép thử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi></math> và kí hiệu là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Ω</mi></math>.</p>
<p><strong>Ví dụ:</strong></p>
<p>Gieo một con súc sắc thì đây là môt phép thử.</p>
<p>Không gian mẫu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Ω</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}"><mrow><mn>1</mn><mo>;</mo><mn>2</mn><mo>;</mo><mn>3</mn><mo>;</mo><mn>4</mn><mo>;</mo><mn>5</mn><mo>;</mo><mn>6</mn></mrow></mfenced></math>.</p>
<p><strong>II. Biến cố</strong></p>
<p><strong>1. Định nghĩa</strong></p>
<p>Giả sử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Ω</mi></math> là không gian mẫu của phép thử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi></math>.</p>
<p>a) Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> là tập con của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Ω</mi></math> thì ta nói <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> là biến cố (liên quan đến phép thử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi></math>).</p>
<p>b) Trong kết quả của việc thực hiện phép thử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi></math>, nếu có một phần tử của biến cố xảy ra thì ta nói "biến cố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> xảy ra".</p>
<p><strong>Ví dụ:</strong></p>
<p>Gieo một con súc sắc thì đây là môt phép thử.</p>
<p>Không gian mẫu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Ω</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}"><mrow><mn>1</mn><mo>;</mo><mn>2</mn><mo>;</mo><mn>3</mn><mo>;</mo><mn>4</mn><mo>;</mo><mn>5</mn><mo>;</mo><mn>6</mn></mrow></mfenced></math>.</p>
<p>Gọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> là biến cố: “Các mặt xuất hiện chẵn chấm”.</p>
<p>Khi đó <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}"><mrow><mn>2</mn><mo>;</mo><mn>4</mn><mo>;</mo><mn>6</mn></mrow></mfenced></math>.</p>
<p><strong>2. Biến cố không thể và biến cố chắc chắn</strong></p>
<p>Giả sử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Ω</mi></math> là không gian mẫu của phép thử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi></math>, ta có các định nghĩa sau:</p>
<p>a) Biến cố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> được gọi là biến cố ngẫu nhiên (liên quan đến phép thử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi></math>), nếu như <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> khác rỗng và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> là tập</p>
<p>con thực sự của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Ω</mi></math>.</p>
<p>b) Tập rỗng được gọi là biến cố không thể (liên quan đến phép thử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi></math>) (gọi tắt là biến cố không).</p>
<p>c) Tập <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Ω</mi></math> được gọi là biến cố chắc chắn (liên quan đến phép thử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi></math>).</p>
<p><strong>3. Các quan hệ và các phép toán trên các biến cố (liên quan đến cùng một phép thử)</strong></p>
<p>Giả sử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Ω</mi></math> là không gian mẫu của phép thử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi><mo>;</mo><mo> </mo><mi>A</mi><mo>,</mo><mi>B</mi><mo>,</mo><mi>C</mi></math> là các biến cố cùng liên quan đến phép thử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi></math>, ta có các</p>
<p>định nghĩa và các kết quả sau:</p>
<p><strong>3.1 Hai biến cố đồng nhất</strong></p>
<p><strong>Định nghĩa:</strong></p>
<p>Hai biến cố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math> là đồng nhất với nhau khi và chỉ khi "Tập <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> bằng tập <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math>"</p>
<p><strong>Chú ý:</strong> Từ định nghĩa trực tiếp suy ra rằng hai biến cố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math> đồng nhất với nhau khi và chỉ khi chúng đồng</p>
<p>thời xảy ra hoặc đồng thời cùng không xảy ra, mỗi khi phép thử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi></math> được thực hiện.</p>
<p>Kí hiệu: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>=</mo><mi>B</mi></math>.</p>
<p><strong>3.2 Hợp và giao của các biến cố</strong></p>
<p>Giả sử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>B</mi></math> là hai biến cố có liên quan đến một phép thử. Ta có định nghĩa sau:</p>
<p>+) Tập <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi></math> được gọi là <strong>hợp</strong> của các biến cố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math>. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi></math> xảy ra khi và chỉ khi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> xảy ra <strong>hoặc</strong> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math> xảy ra.</p>
<p>+) Tập <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi></math> được gọi là <strong>giao</strong> của các biến cố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math>. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi></math> xảy ra khi và chỉ khi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math> <strong>đồng thời</strong> xảy ra.</p>
<p>Biến cố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi></math> còn được viết là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>.</mo><mi>B</mi></math>.</p>
<p><strong>3.3 Hai biến cố xung khắc</strong></p>
<p>Hai biến cố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math> là xung khắc với nhau khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra hay <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mo>∅</mo></math>.</p>
<p><strong>3.4 Biến cố đối</strong></p>
<p><strong>Định nghĩa:</strong></p>
<p>Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> là biến cố liên quan đến phép thử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi></math> thì tập <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Ω</mi><mo> </mo><mo>\</mo><mo> </mo><mi>A</mi></math> cũng là một biến cố liên quan đến phép thử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi></math> và</p>
<p>được gọi là biến cố đối của biến cố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math>, kí hiệu là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>A</mi><mo>¯</mo></mover></math> .</p>
<p><strong>Chú ý:</strong></p>
<p>Từ định nghĩa trực tiếp suy ra:</p>
<p>a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>A</mi><mo>¯</mo></mover></math> = "Không xảy ra biến cố ". Từ đó ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>A</mi><mo>¯</mo></mover></math> xảy ra ⇔ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> không xảy ra.</p>
<p>b) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>A</mi><mo>¯</mo></mover></math> là phần bù của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> trong <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Ω</mi></math>.</p>
<p>c) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math> là biến cố đối của biến cố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> là biến cố đối của biến cố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math> là hai biến cố đối nhau).</p>
<p>Đồng thời ta có:</p>
<p>( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math> là hai biến cố đối nhau) ⇔ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mi>Ω</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mo>∅</mo></mtd></mtr></mtable></mfenced></math>.</p>
<p><strong>Ví dụ:</strong></p>
<p>Gieo một con súc sắc thì đây là môt phép thử.</p>
<p>Không gian mẫu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Ω</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}"><mrow><mn>1</mn><mo>;</mo><mn>2</mn><mo>;</mo><mn>3</mn><mo>;</mo><mn>4</mn><mo>;</mo><mn>5</mn><mo>;</mo><mn>6</mn></mrow></mfenced></math>.</p>
<p>Gọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> là biến cố: “Các mặt xuất hiện chẵn chấm”.</p>
<p>Khi đó <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}"><mrow><mn>2</mn><mo>;</mo><mn>4</mn><mo>;</mo><mn>6</mn></mrow></mfenced></math>.</p>
<p>Gọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math> là biến cố: “Các mặt xuất hiện lẻ chấm”.</p>
<p>Khi đó <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}"><mrow><mn>1</mn><mo>;</mo><mn>3</mn><mo>;</mo><mn>5</mn></mrow></mfenced></math>.</p>
<p>Dễ thấy:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mi>Ω</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mo>∅</mo></math> nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math> là các biến cố đối của nhau.</p>
<p><br /><br /><br /></p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Hướng dẫn giải Hoạt động 1 (Trang 60 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 63 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 2 (Trang 63 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 3 (Trang 63 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 4 (Trang 64 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 64 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 6 (Trang 64 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 7 (Trang 64 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải