Đề bài

Cho tứ diện $S ABC$. Hãy dựng mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua trung điểm $I$ của đoạn  $SA$và song song với mặt phẳng $\left(ABC\right)$.

Phương pháp giải 

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Gọi $K,L$ lần lượt là giao của mp $\left(\alpha \right)$ với các cạnh $SB,SC$ $.$

Ta có: $$\begin{gathered} \left(\alpha \right)\parallel \left(ABC\right) \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}IK\parallel \left(ABC\right)\supset AB\\ IL\parallel \left(ABC\right)\supset AC\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}IK\parallel AB\\ IL\parallel AC\end{array}\right. \end{gathered}$$

Mà $I$ là trung điểm của $SA$$.$

Vậy mp $\left(\alpha \right)$ chính là mp $\left(IKL\right)$$.$

Cách 2:

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua 3 trung điểm $I,K,L$ của $SA,SB,SC$

Thật vậy, gọi $K,L$ lần lượt là trung điểm của $SB,SC$

Suy ra $IK,KL$ lần lượt là đường trung bình trong tam giác $SAB$ và $SBC$

$$\begin{gathered} IK\parallel AB\in \left(ABC\right)\Rightarrow IK\parallel \left(ABC\right) \\ KL\parallel BC\in \left(ABC\right)\Rightarrow KL\parallel \left(ABC\right) \end{gathered}$$

 $IK$ và $KL$ cắt nhau và cùng song song với mp $\left(ABC\right)$

⇒ Mặt phẳng chứa $IK$ và $KL$ song song với mp $\left(ABC\right)$

Hay $\left(\alpha \right)\parallel \left(ABC\right)$