Bài toán 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

Phương pháp: Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng. đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến.

Lưu ý: Điểm chung của hia mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ thường được tìm như sau:

Tìm hai đường thẳng $α, b$ lần lượt thuộc $(α) v à (b)$ , đồng thời chúng cùng nằm trong mặt phẳng $(γ)$ nào đó; giao điểm $M = α \cap b$ chính là điểm chung của $(α) v à (b)$ .

Giao tuyến của hai mặt phẳng

Bài 1:

Cho hình hình chóp: $S . A B C D$ , đáy ABCD là tứ giác có các cạnh đối không song song, điểm M thuộc cạnh SA.

Tìm giao tuyến của các mặt phẳng:

a) $(S A C) v à (S B D)$ .

b) $(S A C) v à (M B D)$ .

c) $(M B C) v à (S A D)$ .

d) $(S A B) v à (S C D)$ .

Hướng dẫn giải:

$Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song$

a) Gọi $O = A C \cap B D$

$\Rightarrow \{\begin{cases} O \in A C \subset (S A C) \\ O \in B D \subset (S B D) \end{cases}$ lại có $S \in (S A C) \cap (S B D)$

$\Rightarrow O \in (S A C) \cap (S B D) \Rightarrow S O \in (S A C) \cap (S B D)$

b) $O = A C \cap B D$

$\Rightarrow \{\begin{cases} O \in A C \subset (S A C) \\ O \in B D \subset (M B D) \end{cases}$

$\Rightarrow O \in (S A C) \cap (M B D) v à M \in (S A C) \cap (M B D) \Rightarrow O M = (S A C) \cap (M B D)$

c) Trong $(A B C D)$ gọi;

$F = B C \cap A D \Rightarrow \{\begin{cases} F \in B C \subset (M B C) \\ F \in A D \subset (S A D 0 \end{cases} \Rightarrow F \in (M B C) \cap (S A D)$

và $M \in (M B C) \cap (S A D) \Rightarrow F M = (M B C) \cap (S A D)$

d) Trong (ABCD) gọi $E = A B \cap C D, t a c ó S E = (S A B) \cap (S C D) .$

Bài toán 2: Cho tứ diện $S A B C$ . Trên SA, SB, SC lấy các điểm D, E và F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Ta có $I = D E \cap A B, D E \subset (D E F);$

$A B \subset (A B C) \Rightarrow I \in (A B C) (1)$ . Tương tự $J = E F \cap B C$

$\Rightarrow \{\begin{cases} J \in E F \in (D E F) \\ J \in B C \subset (A B C) \end{cases} (2) K = D F \cap A C$

$\Rightarrow \{\begin{cases} K \in D F \subset (D E F) \\ K \in A C \subset (A B C) \end{cases} (3)$ TỪ (1), (2) VÀ (3) TA CÓ I, J, K là điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) nên chúng thẳng hàng.

Bài 3:

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Một mặt phẳng $(α)$ cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD tương ứng tại các điểm M, N, P, Q. Chứng minh rằng MN, PQ, SO đồng quy.

Hướng dẫn giải:

$Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\), gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\)$

trong mặt phẳng (MNPQ) gọi $I = M P \cap N Q .$

Ta sẽ chứng minh $I \in S O$

Dễ thấy $S O = (S A C) \cap (S B D) .$

$\{\begin{cases} I \in M P \subset (S A C) \\ I \in N Q \subset (S B D) \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} I \in (S A C) \\ I \in (S B D) \end{cases} \Rightarrow I \in S O$

Vậy MP, NQ, SO đồng tâm tại I

Bài toán 03: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) ta cần lưu ý một số trường hợp sau:

Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Trường hợp 1. Nếu trong (P) có sẵn d' cắt d tại M. Khi đó:

$\{\begin{cases} M \in d \\ M \in d' \subset (P) \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} M \in d \\ M \in (P) \end{cases} \Rightarrow M = d \cap (P)$

Trường hợp 2. Nếu trong (P) chưa có sẵn d' cắt d thì ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chọn mặt phẳng ( $Q$ ) chứa d
Bước 2: Tìm giao tuyến $∆ = (P) \cap (Q)$
Bước 3: Trong ( $Q$ ) gọi $M = d \cap ∆$ thì $M$ chính là giao điểm của $d \cap (P)$

Bài 4: Cho hình tứ giác S. ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA.

a) Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (MCD).

b) Tìm giao điểm của đường thẳng MC với mặt phẳng (SBD).

Hướng dẫn:

a) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi $E = A B \cap C D .$

Trong (SAB) gọi

$N \in E M \subset (M C D) \Rightarrow N \in (M C D)$ và $N \in S B n ê n N = S B \cap (M C D)$ .

B) Trong (ABCD) gọi $I = A C \cap B D$

Trong (SAC) gọi $K = M C \cap S I .$

Ta có $K \in S I \subset (S B D) v à K \in M C n ê n K = M C \cap (S B D) .$