Trong các dãy số $\left(u_n\right)$ sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó.

a) $u_n=5-2n ;$                                   b) $u_n=\frac{n}{2}-1 ;$

c) $u_n=3^n ;$                                         d) $u_n=\frac{7-3n}{2} .$

Giải

a) Ta có $u_{n+1}-u_n=5-2\left(n+1\right)-\left(5-2n\right)=-2; \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$

    Vậy $\left(u_n\right)$ là cấp số cộng có $u_1=3$, công sai d = -2.

b) Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{2}-1-\left(\frac{n}{2}-1\right)=\frac{1}{2}; \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$

     Vậy $\left(u_n\right)$ là cấp số cộng có $u_1=\frac{1}{2}$, công sai $d=\frac{1}{2}$.

c) $u_{n+1}-u_n=3^{n+1}-3^n=2.3^n$. Vậy $\left(u_n\right)$ không là cấp số cộng.

d) Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{7-3\left(n+1\right)}{2}-\frac{7-3n}{2}=-\frac{3}{2}$

     Vậy $\left(u_n\right)$ là cấp số cộng có $u_1=2$, công sai $d=-\frac{3}{2}$