Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng $u_1, d, n, u_n, S_n$.

a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được

các đại lượng còn lại?

b) Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích hợp vào ô trống:

Giải

a) Các hệ thức liên hiện giữa $u_1, d, n, u_n, S_n$ là

         $u_n=u_1+\left(n-1\right)d;$       $S_n=\frac{n\left(u_1-u_n\right)}{2};$        $S_n=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}$

    Cần biết ít nhất ba trong năm đại lượng $u_1, d, n, u_n, S_n$ thì có thể tính được hai đại lượng còn lại.

b) i) Cho $u_1=-2, u_n=55, n=20$. Tính d và $S_n$.

        Từ $u_n=u_1+\left(n-1\right)d$. Ta có $55=-2+19d\Rightarrow d=3$.

        $S_{20}=\frac{20\left(u_1+u_{20}\right)}{2}=10\left(-2+55\right)=530$

    ii) Cho $d=-4, n=15, S_n=120$. Tính $u_1$ và $u_n$.

        Ta có $S_n=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}\Rightarrow 120=\frac{15}{2}\left[2u_1+14.(-4)\right]$

                                                      $\Rightarrow 240=30u_1-840\Rightarrow u_1=36$

        Từ đó $u_n=u_1+\left(n-1\right)d=36+14.(-4)=-20$

    iii) Cho $u_1=3, d=\frac{4}{27}; u_n=7.$Tìm n và $S_n$

         Ta có $u_n=u_1+\left(n-1\right)d\Rightarrow 7=3+\left(n-1\right).\frac{4}{27}\Rightarrow n-1=27\Rightarrow n=28$

                  $S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\frac{28\left(3+7\right)}{2}=140$

     iv) Cho $u_n=17, n=12, S_n=72$. Tìm $u_1$ và d.

          Ta có $u_n=u_1+\left(n-1\right)d$ và $S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}$

                                                   $\Rightarrow 72=\frac{12\left(u_1+17\right)}{2}\Rightarrow u_1=-5$

          Từ $u_n=u_1+(n-1)d\Rightarrow 17=-5+11d\Rightarrow d=2$

      v) Cho $u_1=2, d=-5, S_n=-205.$Tìm $u_n$ và n.

          Ta có $S_n=\frac{n\left[2u_1-\left(n-1\right)d\right]}{2}\Rightarrow -205=\frac{n\left[4-5\left(n-1\right)\right]}{2}$

                 $\Rightarrow n(9-5n)=-410\Rightarrow 5n^2-9n-410=0\Rightarrow n=10$ (loại n = -82)

          Từ $u_n=u_1+\left(n-1\right)d$ suy ra $u_n=2+9\left(-5\right)=-43$.