Ví dụ 1:

Cho $△ A B C$ . gỌI E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tìm phép bị tự biến B và C tương ứng thành E và F

Hướng dẫn giải:

Vì BE và CF cắt nhau tại A nên A là tâm vị tự cần tìm

Ta có:

$\{\begin{cases} V_{(A, K)} (B) = E \Leftrightarrow \vec{A E} = \vec{k A B} \\ V_{(A, K)} (C) = F \Leftrightarrow \vec{A F} = \vec{k A C} \end{cases} |k| = \frac{|\vec{A E}|}{|\vec{A B}|} = \frac{|\vec{A F}|}{|\vec{A C}|} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = \frac{1}{2} (d o \vec{A E} v à \vec{A B}, \vec{A F} v à \vec{A C} c ù n g h ư ớ n g) V ậ y p h é p v ị t ự c ầ n t ì m l à V_{(A, \frac{1}{2})}$

Ví dụ 2

Cho $△ A B C$ có A', B', C' lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Tìm một phép vị tự biến $△ A B C t h à n h △ A' B' C'$

Hướng dẫn giải:

Vì AA', BB', CC' cắt nhau tại G nên G là tâm vị tự cần tìm

Ta có:

$V_{(G, k)} (A) = A' \Leftrightarrow \vec{G A'} = k \vec{G A} |k| = \frac{|\vec{G A'}|}{|\vec{G A}|} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = - \frac{1}{2} (d o \vec{G A} v à \vec{G A'} n g ư ợ c h ư ớ n g) V ậ y p h é p v ị t ự c ầ n t ì m l à V_{(G, - \frac{1}{2})}$

Ví dụ 3:

Cho hai đường tròn (O; 2R) và (O'; R) ngoài nhau. Tìm phép vị tự biến (O; 2R) thành (O'; R)

Hướng dẫn giải:

Lấy M bất kỳ trên (O; 2R), vẽ đường thẳng qua O' song song với OM cắt (O'; R) tại M' và N'. Gọi MM' cắt OO' tại I, MN' cắt OO' tại J

I là tâm vị tự ngoài, tỷ số vị tự $k = \frac{R}{2 R} = \frac{1}{2}$

J là tâm vị tự trong, tỷ số vị tự. $k = - \frac{R}{2 R} = - \frac{1}{2}$

Ví dụ 4:

a) Cho A(1; -3). Tìm toạ độ $A' = V_{(O; - 2)} (A)$

b) Cho d: x + 2y + 3 = 0. Tìm phương trình $d' = V_{(I; 2)} (d) b i ế t I (1; 2)$

Hướng dẫn giải:

a) Gọi A'(x'; y')

Ta có:

$A' = V_{(O; - 2)} (A) \Rightarrow \vec{O A'} = - 2 . \vec{O A} \Rightarrow (x'; y') = - 2 . (1; - 3) \Rightarrow \{\begin{cases} x' = - 2 \\ y' = 6 \end{cases} \Rightarrow A' (- 2; 6)$

b)Chọn M(-3; 0) $\in d$

Gọi M' = $V_{(I; k)} (M)$

Ta có: $\vec{I M} = (- 4; - 2)$

$M' = V_{(I; 2)} (M) \Rightarrow \vec{I M'} = 2 \vec{I M} \Rightarrow \{\begin{array}{l} x_{M'} - 1 = - 8 \\ y_{M'} - 2 = - 4 \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{M'} = - 7 \\ y_{M'} = - 2 \end{cases} \Rightarrow M' (- 7; - 2) \in d'$

Theo tính chất của phép vị tự d' song song hoặc trùng với d suy ra đường thẳng d' có một VTPT là: $\vec{n} = (1; 2)$

Vậy phương trình d': $1 (x + 7) + 2 (y + 2) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y + 11 = 0$

Ví dụ 5:

Tìm ảnh của (C): ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$ qua phép vị tự tâm I(1; 2), tỉ số k = -2

Hướng dẫn giải:

Đường tròn (C): ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5 c ó t â m M (3; - 1), b á n k í n h R = \sqrt{5}$

Gọi đường tròn (C') có tâm M'(x'; y') bán kính R' là ảnh của (C)

Do k = -2 $\Rightarrow R' = 2 \sqrt{5}$

Ta có:

$\vec{I M} = (2; - 3) V_{(I; - 2)} (M) = M' \Rightarrow \vec{I M'} = - 2 \vec{I M} \Rightarrow \{\begin{cases} x' - 1 = - 4 \\ y' - 2 = 6 \end{cases}$

Vậy phương trinh đường tròn (C') là: ${(x + 3)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 20$